NARRATIVAS DA MATEMÁTICA.

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A HISTÓRIA DA GEOMETRIA ANALÍTICA.

Hipérboles são uma das frentes de estudo da Geometria Analítica.

A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas.

Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII, Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas.

Uma característica importante da G.A. se apresenta na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente, na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a Álgebra.

Os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial, objetos que possuem as características relacionadas a tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na Física, como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à Cinemática Vetorial, Dinâmica, Campo Elétrico entre outros conteúdos relacionados.
Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia.

http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-analitica.htm
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A Matemática como Arte

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O prestígio de que gozam os matemáticos em todos os países civilizados não é fácil de entender. O que é valorizado pela generalidade dos homens ou é útil ou dá prazer, ou ambas as coisas. A agricultura é sem dúvida uma ocupação válida, assim como tocar piano. Mas porque serão as atividades dos matemáticos consideradas importantes? Pode dizer-se que a matemática é válida pelas suas aplicações. Todos sabemos que a civilização moderna, numa extensão sem precedentes, depende da ciência e, grande parte, essa ciência seria impossível na ausência de matemáticas altamente desenvolvidas. Isto é sem dúvida uma consideração importante. É também verdade que a matemática tem beneficiado com a crescente importância atribuída à ciência como consequência das "magnificas" capacidades reveladas na última guerra. Mas é duvidoso que esta consideração por si só seja adequada para explicar a elevada posição que a matemática tem tido ao longo de grande parte da sua história. Por outro lado, não parece que possamos atribuir muita importância à ideia defendida por muitos matemáticos de que a sua ciência é uma arte deliciosa. Esta afirmação é sem dúvida justificada. Mas o facto de que, muito poucos indivíduos retirem grande prazer em incompreensíveis projectos não é razão para que o homem comum os deve admirar e suportar. O professorado do xadrez não está estabelecido, mas existem provavelmente mais pessoas que apreciam as "belezas" do xadrez do que as da matemática. A posição actualmente atribuída à matemática pelo público não matemático deve-se em parte à utilidade da matemática e em parte à persistência, numa forma mais ou menos vaga, de ideias idosas e erradas relativas ao seu real significado. Apenas em tempos mais recentes, o correcto estatuto da matemática foi descoberto. Contudo, existem ainda muitos e aspectos importantes desta maravilhosa actividade que continuam misteriosos.

É provável que a matemática tenha surgido com Pitágoras. Não há nenhuma evidência de que a actividade a que chamamos raciocínio matemático fosse reconhecida e praticado antes de Pitágoras. É certo que alguns resultados aritméticos seriam há muito conhecidos. Mas nem a geometria nem a álgebra tinham sido criadas. As fórmulas geométricas utilizadas pelos antigos egípcios, por exemplo, tinham fundamentalmente a ver com problemas de sobrevivência e eram obtida de forma empírica. Estavam em geral erradas e não eram acompanhadas por demonstrações. É estranho que esta particular possibilidade da mente tenha sido descoberta tão tarde, pois é completamente independente de circunstâncias externas. Até a música, a mais independente usualmente chamadas de artes, é mais dependente do ambiente que a matemática. Contudo, tanto a música como a matemática, as duas mais "subjectivas" criações humanas, foram particularmente tardias e lentas no seu desenvolvimento. E assim como nos é impossível entender o que a música rudimentar significava para os gregos, igualmente é impossível compreender as dificuldades da mente pré-matemática. O entusiasmo musical de Platão está tão distante de nós como as dificuldades demonstradas por aquele Imperador Chinês que não conseguia ser convencido por demonstrações abstratas de que o volume de uma esfera varia consoante o quadrado do raio. Teve várias esferas de diferentes tamanhos cheias de água e pesadas. Esta era a sua concepção de demonstração. E isto deve ter sido típico no pensamento antigo. Menosprezaram uma faculdade assim como os Gregos menosprezaram o sentido de harmonia.

Não é pois surpreendente que, quando a mente toma conhecimento pela primeira vez deste insuspeito poder, não tenha compreendido a sua verdadeira natureza. Aparentou ser muito mais significativo, ou pelo menos, significativo de maneira diferente do que era na realidade. Para os Pitagóricos, deslumbrados pelo charme estético dos teoremas que descobriram, o número tornou-se o princípio de todas as coisas. O número era suposto ser a verdadeira essência do real. Tudo o que podia ser previsto eram aspectos do número. O número um é, neste sentido, aquilo que chamamos de razão, porque a razão é invariável e a verdadeira essência da invariabilidade é expressa pelo número um. O número dois, por outro lado, é ilimitado e indeterminado. A "opinião" é a expressão do número dois. A essência do casamento é expressa pelo número cinco, porque cinco se alcança pela combinação de três e dois, sendo que o primeiro número é masculino e o segundo é feminino. O número quatro é a essência da justiça, pois quatro é o produto de iguais. Para compreender esta perspectiva é necessário entrar nessa condição mental em que as analogias representam a realidade. Estranhas expressões como, masculino e feminino, claro e escuro, recto e curvo, tornaram-se então expressão de algum princípio profundo de oposição que constitui o mundo. Existem diversos escritores místicos e semi-místicos nos nossos dias que conseguem pensar desta maneira e é necessário admitir que não é fora do comum encontrar pensamentos destes, de outra maneira ortodoxos, que conseguem adaptar este tipo de raciocínio sem qualquer desconforto. Até Goethe no Farbenlehre, considera que o triângulo tem um significado místico.

Enquanto o verdadeiro estatuto lógico das proposições matemáticas permaneceu desconhecido foi possível que diversos matemáticos conjecturassem que eles tinham algum relacionamento profundo com a estrutura do universo. As proposições matemáticas eram supostas ser verdadeiras independentes das nossas mentes pressuposto a partir do qual foi deduzida a existência de Deus. Na realidade esta doutrina era um refinamento das fantasias Pitagóricas, defendida por muitos que não acreditavam nas propriedades místicas dos números. Mas a visão místico dos números continuou a florescer durante muitos séculos. Até Santo Agostinho, quando se referiu à perfeição do número seis, disse:

"seis é um número perfeito em si mesmo, e não por causa de Deus ter criado todas as coisas em seis dias. Da mesma maneira, a tese inversa segundo a qual Deus criou as coisas em seis dias por seis ser um número perfeito, também não é verdadeira porque seis continuaria a ser perfeito mesmo que o trabalho dos seis dias não existisse".

Com base em especulações deste tipo, a doutrina Pitagórica desenvolveu-se, por um lado, de forma respeitável, numa filosofia das verdades necessárias, por outro lado, em imbecilidades cabalísticas. Muito bons matemáticos tornaram-se cabalistas. O famoso Michael Stifel, um dos mais aclamados algebristas do século XVI, considerou que a parte mais importante do seu trabalho foi a interpretação cabalística dos livros proféticos da Bíblia. Este método granjeou um grande prestígio, como se pode verificar pela crença generalidade de que o mundo iria profeticamente ter o seu termino em 3 de Outubro, de 1533. O resultado foi que muitas pessoas abandonaram as suas habitações e gastaram os seus bens tendo constado que, quando a data chegou e passou, estavam arruinados. Figuras geométricas como o polígono em estrela, eram supostas ter um profundo significado. Mesmo Kepler, após demonstrar as suas capacidades matemáticas com perfeito rigor, continua explicando o seu uso como amuletos e conjuras. Pode encontrar-se outro sinal da persistência desta forma de olhar as entidades matemáticas nos primórdios do desenvolvimento das séries infinitas, que foi amparado pelo exagero atribuído às operações matemáticas. De tal forma que, no tempo de Leibnitz, se acreditava que a soma de um número infinito de zeros era igual a œ, e se tentava que esta óbvia idiotice fosse plausível dizendo que era a analogia matemática da criação do mundo a partir do nada.

Existem evidências suficientes da existência de uma tendência muito ampla para atribuir significado místico às entidades matemáticas. E existem diversos indícios de que esta tendência persiste mesmo nos nossos dias. É possível que, na altura, o prestígio dos matemáticos não fosse desassociado do prestígio usufruído pelos mestres do oculto. A posição atribuída aos matemáticos tem sido, em grande parte, devida às superstições da humanidade, embora sem qualquer dúvida ser justificada de forma racional. Durante um longo período, particularmente na Índia e na Arábia, os homens tornavam-se matemáticos para serem astrónomos e tornavam-se astrónomos  para serem astrólogos. O objectivo das suas actividades era a superstição, não a ciência. Até mesmo na Europa, e durante muitos anos depois do princípio do Renascimento, a astrologia e assuntos semelhantes eram importantes justificações para as pesquisas matemáticas. Já não acreditamos na astrologia ou hexágonos místicos, mas ninguém que tenha conhecimento da imaginação de algumas pessoas não ligadas à ciência, pode deixar de suspeitar que o Pitagorismo ainda não está morto. Quando consideramos a outra justificação da derivação da matemática pelo olhar dos Pitagóricos - a sua justificação com base no facto de que ela oferece os mais claros e indiscutíveis exemplos de verdades necessárias - encontramos esta perspectiva longe de extinta, admitida ainda por eminentes professores de lógica. E, no entanto, a geometria não euclediana, com já um século de vida, mostrou que essa perspectiva era bastante indefensível. Este ponto de vista é bem expresso por Descartes, numa famosa passagem da suas Quinta Meditação:

"eu imagino um triângulo e, ainda que uma tal figura não exista em nenhum lugar do mundo fora do meu pensamento, nem tenha já mais existido, não deixa de existir uma certa natureza ou forma, ou essência determinada dessa figura a qual é imutável e eterna, que eu não inventei e que não depende de nenhuma maneira do meu espírito. Assim se explica que se possam demonstrar diversas proposições desse triângulo, a saber que os seus três ângulos são iguais a dois rectos, que o maior ângulo é correspondeste ao maior lado e outras semelhantes as quais quer eu queira ou não, reconheço muito claramente e muito evidentemente pertencerem ao triângulo ainda que eu nunca tenha pensado nisso de nenhuma maneira quando imaginei pela primeira vez um triângulo, sendo portanto impossível dizer que eu fiz ou inventei essas propriedades."

Um triângulo, segundo Descartes, não depende de forma alguma de uma mente, tem uma existência eterna completamente independente do nosso conhecimento. As suas propriedades são descobertas pela nossa mente mas não dependem de forma alguma dela. Esta forma de encarar as entidades geométricas durou 200 anos. Para os platonistas, as proposições geométricas expressam verdades eternas, relacionadas com o mundo das Ideias, um mundo à parte, separado do mundo sensível. Para aos seguidores de Santo Agostinho as ideias platonistas transformam-se nas ideias de Deus; e para os seguidores de São Tomás de Aquino tornaram-se aspectos do mundo divino. Durante toda a filosofia escolástica a verdade necessária das proposições geométricas desempenha um papel muito importante e, como já dissemos, existem filósofos dos nossos dias que consideram os axiomas da geometria euclideana como verdades irrefutáveis. Se esta perspectiva se justifica, então as faculdades matemáticas permitem-nos aceder a um mundo eterno, mas não sensível. Antes das descobertas dos matemáticos, esse mundo era-nos desconhecida mas contudo existia Pitágoras não inventou a matemática mais do que Colombo inventou a América. Será que esta é uma descrição verdadeira da natureza matemática? É a matemática realmente um corpo de conhecimento sobre um mundo supersensível? Alguns de nós estarão recordados de certas afirmações feitas sobre a música. Alguns músicos ficaram tão impressionados pela extraordinária impressão da "inevitabilidade" de alguns trabalhos musicais que declararam dever existir uma espécie de céu no qual as frases musicais já existam. O grande músico será aquele que descobre essas frases - que as ouve por assim dizer. Os músicos inferiores ouvem-nas de uma forma imperfeita e por isso dão uma contribuição confusa e distorcida da realidade pura e celestial. Digamos que as faculdades para compreender a música são raras mas que, pelo contrário, as faculdades para entender triângulos celestiais, parecem estar presentes em todos os homens.

Estas noções, no que dizem respeito à geometria, estão fundadas na suposta necessidade dos axiomas de Euclides. Os postulados fundamentais da geometria euclediana eram considerados, até ao principio do século XIX, pela generalidade dos matemáticos e filósofos como conceitos necessários. Não se tratava apenas de reconhecer que a geometria euclediana era a geometria do espaço existente mas sim que era necessariamente a geometria de qualquer espaço. Contudo, desde cedo se havia constado que existia uma falha neste edifício aparentemente impecável. A conhecida definição das paralelas não suficientemente obvia, e já os seguidores gregos de Euclides haviam feito tentativas para a melhorar. Também os Árabes, quando entraram em contacto com as matemáticas gregas, perceberam que o axioma das paralelas era insatisfatório. Ninguém duvidava que fosse uma verdade necessária, mas pensava-se que deveria haver uma maneira de o deduzir a partir dos outros mais simples axiomas de Euclides. Com o difusão das matemáticas na Europa surgiram imensas tentativas de demonstração do axioma das paralelas. Algumas eram milagres de ingenuidade, mas é possível mostrar que, em qualquer caso, se partia sempre de pressupostos que eram equivalentes a aceitar o axioma das paralelas. Uma das mais conceituadas investigações foi a do padre Jesuíta Girolamo Saccheri cujo tratado apareceu no principio do século XVIII. Saccheri era um lógico extremamente hábil, também capaz de fazer pressuposições injustificadas. O seu método consistiu em desenvolver as consequências da negação do axioma das paralelas de Euclides mantendo os outros axiomas. Desta forma, esperava desenvolver uma geometria contraditória, pois partia do princípio indubitável de que o axioma das paralelas era necessariamente verdadeiro. Mas, apesar de Saccheri ter lutado arduamente, não conseguiu ter sucesso em contradizer-se. O que realmente fez foi lançar os fundamentos da primeira geometria não euclediana. Apesar disto e embora D'Alembert tivesse expresso a opinião de que todos os matemáticos do seu tempo declaravam que o axioma das paralelas era o "escândalo" da geometria, ninguém parecia ter sérias dúvidas sobre isso. O primeiro matemático a tomar consciência de que o axioma das paralelas podia ser negado e, mesmo assim, ter-se uma geometria bem estruturada foi Gauss. Mas Gauss depressa constatou como era vacilante, como era chocante, o que tinha feito e teve medo de publicar a sua demonstração. Estava reservado para o russo Lobachevsky e para o húngaro Bolyai, a publicação da primeira geometria não euclediana. Tornou-se imediatamente óbvio que os axiomas de Euclides não eram necessidades do pensamento mas algo bastante diferente e que não existia razão alguma para supor que os triângulos tinham uma existência celestial.

Os desenvolvimentos posteriores da geometria não euclediana e a sua aplicação aos fenómenos físicos por Einstein mostraram que a geometria euclediana, não só não era única, como não era a geometria mais conveniente para aplicar ao espaço existente. E com isto deu-se obviamente uma profunda mudança no estatuto atribuído às entidades matemáticas e no significado atribuído às actividades matemáticas. Podemos partir de qualquer conjunto de axiomas desde que sejam consistentes uns com os outros e trabalhar as suas consequências lógicas. Fazendo-o, criamos um ramo da matemática. As definições e postulados elementares não são dadas pela experiência nem são necessidades de pensamento. O matemático é inteiramente livre, dentro dos limites da sua imaginação, para construir os mundos que desejar. O que vai imaginar é resultante do seu próprio capricho. O matemático não descobre os principais fundamentos do universo nem toma contacto com as ideias de Deus. Se consegue encontrar na experiência conjuntos de entidades matemáticas que obedecem ao mesmo esquema lógico das suas entidades matemáticas, então aplica a sua matemática ao mundo real, cria um ramo da ciência. Porque razão deve o mundo real obedecer às leis da lógica? Porque razão deve a ciência ser possível? Não são questões fáceis. Inclusivamente existem indicações nas teorias da física moderna que levam alguns homens de ciência a duvidar se, finalmente, o universo se vai revelar racional. Mas, ainda que assim possa parecer, não existem melhores razões para supor que os fenómenos racionais têm de obedecer a uma geometria particular do que para supor que a música das esferas, assim a possamos nós alguma vez ouvir, tem de estar em escala diatónica.

Desde então, a matemática é uma actividade completamente livre, independente do mundo real, mais uma arte do que uma ciência. É tão independente do mundo exterior como a música; e contudo, ao contrário da música, serve para ilucidar fenómenos naturais, é ter "subjectiva" como um produto criado livremente pela imaginação. Não é difícil descobrir que os matemáticos são conduzidos pelo mesmos incentivos e experimentam as mesmas satisfações que os outros artistas. A literatura da matemática está cheia de termos estéticos e não é raro que os matemáticos digam que está menos interessados nos resultados do que na beleza dos métodos pelos quais fundamenta esses resultados.

Mas dizer que a matemática é uma arte não é dizer que ela é um mero divertimento. Arte não é algo que exista apenas para satisfazer uma "emoção estética". A arte digna desse nome revela-nos alguns aspectos da realidade. Isso é possível porque a nossa consciência e o mundo envolvente não são duas entidades independentes. A ciência avançou suficientemente para que possamos pensar que o mundo exterior é criação nossa, e entendemos mais do que criámos entendendo as leis da nossa própria existência, as leis de acordo com as quais criamos. Não há nenhuma razão para imaginar que existe um armazém celestial de frases musicais, mas é verdade que a música pode revelar-nos uma realidade mais profunda do que a do senso comum. "Aquele que entende o significado da minha música", terá dito Beethoven, "é aquele que está livre das misérias que afligem outros homens". Podemos não saber o que Beethoven queria dizer, mas é evidente que a música era para ele algo que tinha significado, algo que revelava uma realidade que não podia ser normalmente perceptível. E parece que o matemático ao criar a sua arte, está a exibir aquele movimento das nossas mentes que criou o "espaço temporal" que conhecemos. As matemáticas, tanto como a música ou qualquer outra arte, são um dos meios pelo qual nos elevamos a uma completa "consciência" de nós próprios. O significado da matemática reside precisamente no facto de ser uma arte que nos informa da natureza das nossas próprias mentes e, do muito que depende das nossas mentes. Não nos torna capazes de expressar algumas regiões remotas da existência eterna mas ajuda-nos a mostrar quão longe aquilo que existe depende da nossa forma de existência. Somos os criadores das leis do universo. É possível que não possamos experimentar nada do que criamos e que a maior das nossas criações matemáticas seja o próprio universo. E assim regressamos a uma espécie de Pitagorismo invertido.

A matemática tem um profundo significado no universo, não porque exibe os princípios pelos quais nos regemos, mas porque exibe os princípios que lhe impomos. Mostra-nos as leis da nossa própria existência e as condições necessárias da experiência. E não será verdade que as outras artes fazem algo de similar nas regiões da experiência que não dependem do intelecto? Pode acontecer que o significado que Beethoven declarou que a sua música possuí seja o de que, apesar de o homem viver num universo divergente, a verdade é que tanto na experiência na sua totalidade como naquela parte que é objecto da ciência, aquilo que o homem encontra é aquilo que criou, que o espírito do homem é de facto livre, eternamente submetido apenas aos seus próprios decretos. Seja como for, é certo que a função real da arte é a de incrementar a nossa consciência de nós mesmos, tornar-nos mais conscientes do que somos e, portanto, do que é realmente o universo em que vivemos. E porque a matemática, à sua maneira, também desempenha esta função, ela não é apenas esteticamente bela mas profundamente significativa. É uma arte, e uma grande arte. É aí que, para além da sua utilidade na vida prática, a sua estima deve ser baseadas.