3º ANO - ENSINO MÉDIO.

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EXERCICÍOS

A seguir confira os exercícios sobre distância entre dois pontos, recomendamos que você acesse a aula sobre o assunto em Aula sobre distância entre dois pontos.

1) Calcule a distância entre os pontos A(-2,3) e B(1,5).

2) (UFRGS) Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( -6,3), a abscissa de P vale:

a) -2

b) -1

c) 0

d) 1

e) 3

3) (UFRGS) A distancia entre os pontos A( -2,y) e B(6,7) é 10. O valor de y é

a) -1

b) 0

c) 1 ou 13

d) -1 ou 10

e) 2 ou 12

4) (UFSC) Um ponto material móvel  desloca-se no plano cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo  t (t ≥0).  A distância percorrida pelo ponto material móvel entre o ponto  A  para t = 0  e o ponto  B  para  t = 6, é:

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Distância entre dois pontos

A base da geometria analítica encontra-se na distância entre dois pontos, pois muitos conceitos são inerentes a esse. Portanto, compreender a expressão algébrica para o cálculo da distância entre dois pontos colabora para uma compreensão fidedigna de outros conceitos da geometria analítica.

Distância entre dois Pontos

A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.

Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:

Geometricamente:

http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm

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3 ano - Lista de exercícios

Ponto Médio de um segmento e Baricentro de um Triângulo

1 – Determine o Ponto Médio do segmento de extremidades:

a) A (2, 3) e B (8, 5)               b) C (3, -2) e D (-1, -6)      

c) E(-2, -4) e F (5, 2)              d) H (0, 7) e I (6, 0)          

e) J (3, 2) e K (5, 4)                f) P (-3, -4) e Q (-7, 0)

2 – Dados os pontos A (5, -2), B (3, 0), C (1 , -5) e D (-8, -1), determine as coordenadas dos pontos médios dos segmentos:

a) AB         b) AD            c) BD            d) AC           e) CD

3 – Calcule os pontos médios dos lados de um triângulo com vértices:

a) Δ ABC: A (4, 0), B (0, 6) e C(8, 2)        

b) Δ EFG: E (2, -6), F(-4, 2) e G(0, 4)    

c) Δ JKL: J(-3, 6), K(1, -2) e L(5, 2)

4 – Represente no plano cartesiano os triângulos XYZ e PQR. Determine as coordenadas dos pontos médios de cada lado, trace as medianas e calcule o comprimento de cada mediana.

a) Δ XYZ : X (3, 5), Y (5, 9) e Z (3, 7)

b) Δ PQR: P(2, 8), Q(2, 2) e R(6, 2)

5 – Determine as coordenadas do Baricentro (G) dos triângulos com vértices:

a) Δ ABC: A(2, 3), B(5, -1) e C(-1, 4)         

b) Δ DEF: D(-1, 0), E(2, -3) e F(2, 3)    

c) Δ HIJ: H(-1, -4), I(7, 6) e J(6, 1)            

 d) Δ KLM: K(-2, 5), L(3, 2) e M(5, -7)     

6 – Uma das extremidades de um segmento é o ponto A (-2, -2). Sabendo que M (3, -2) é o ponto médios desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B (x, y).

7 - Determine as coordenadas do ponto B sabendo que M (-1, -1) é o ponto médio de AB com A (-1, 1).

8 – O ponto A (-4, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto médio é M (-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse segmento B (x, y).

9 – Sabendo que os pontos A (x, y), B (-3, 2) e M (3, 5) são colineares, e M é o ponto médio deAB, determine as coordenadas do ponto A.

10 – Sabendo que B (4, 3) é o ponto médio de AC, tal que A esta sobre o eixo das abscissas A (x, 0) e C sobre o eixo das ordenadas C (0, y). Determine as coordenadas de A e C

11 – Calcule o perímetro do triângulo formado pelos pontos médios dos lados do triângulo de vértice A(-4, 3), B(4,-3) e C (4, 3). Represente no plano cartesiano

12 – Determine o comprimento da mediana AM do triangulo cujos vértices são A (2, 3), B (4, -2) e C (0,  -6).

13 – Determine os valores de x e y sabendo que A (2, 4), B(x, 5) e C (5, y) são vértices de um Triângulo cujo baricentro é o ponto G(2, 3).

14 – Sabendo que A(x, y), B (-1, 8) e C (3, -10) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto

G (3, -2). Determine as coordenadas do vértice A.

15 – Os vértices de um Triângulo são A(1, -3), B(3, -5) e C (-5, 7). Determine os pontos médios M, N e P, respectivamente, de AB, BC e CA, e os baricentros G₁ e G₂, respectivamente do Δ ABC e do Δ MNP.

VOCE LEMBRA: SISTEMA LINEAR

1- Resolva os sistemas abaixo:

PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

1 – Em certo trecho em linha reta de uma estrada será instalado uma placa equidistante das extremidades. Determine a coordenada do ponto M em que a placa será instalada e a distancia dos pontos A e B em Km

2 – No esquema está representada parte de uma rua cujos extremos são árvores, serão plantadas outras duas árvores nos pontos C e D, de maneira que a distância entre uma árvore e outra seja a mesma. Conforme imagem abaixo.

(para as questões 1 e 2)

a) No esquema cada unidade corresponde a 2 m. Qual é a distância aproximada entre as árvores A e B? E entre C e D?

b) Determine as coordenadas dos pontos C e D.

3 – (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A (0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende acampar em um ponto equidistante dos locais de escavação determine as coordenadas do local do acampamento.

http://cedt-matematica.blogspot.com.br/2013/02/lista-de-exercicios-ponto-medio-de-um.html

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BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO DE TRÊS PONTOS.

O triângulo é uma figura geométrica muito importante, bastante utilizado na construção civil. No estudo analítico dos triângulos, quando conhecemos as coordenadas dos seus vértices, conseguimos determinar qual é o tipo de triângulo, qual a sua área e quais as coordenadas de seu baricentro. Faremos o estudo de como obter as coordenadas do baricentro do triângulo. Antes, precisamos definir o que é baricentro.

Considere o triângulo de vértices A, B e C abaixo. Os pontos M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Os segmentos de reta MC, AN e PB são as medianas do triângulo. Denominamos baricentro (G) de um triângulo o ponto de encontro das medianas.

Agora vamos considerar um triângulo no plano cartesiano de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C) e baricentro G(x_G, y_G).

As coordenadas do baricentro do triângulo ABC serão dadas por:


Exemplo 1. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(2, 7), B(5, 3) e C(2, 2).

Solução: Vamos calcular as coordenadas do Baricentro do triângulo separadamente, para não haver confusão no entendimento da fórmula, que é muito simples.
Sabemos que:

Portanto, o baricentro do triângulo ABC tem coordenadas G(3, 4).

Exemplo 2. Determine as coordenadas do vértice B do triângulo ABC sabendo que seu baricentro tem coordenadas G(5, 8) e que os outros dois vértices são A(5, 8) e C(7, 6).

Solução: Como conhecemos as coordenadas do baricentro do triângulo e as coordenadas de dois vértices, vamos utilizar a fórmula para a determinação do baricentro para determinar as coordenadas de B.

Segue que:


Temos também que:

Portanto, o vértice B tem coordenadas B(3,1O)

http://www.brasilescola.com/matematica/baricentro-um-triangulo.htm

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PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO.

segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB. Temos:

x_P – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2x_M – 2x_A
2x_M = x_B – x_A + 2x_A
2x_M = x_A + x_B
x_M = (x_A + x_B)/2

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que y_M = (y_A + y_B )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.

Exemplo 1

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

x_A = 4
y_A = 6
x_B = 8
y_B = 10

x_M = (xA + xB) / 2
x_M = (4 + 8) / 2
x_M = 12/2
x_M = 6

y_M = (yA + yB) / 2
y_M = (6 + 10) / 2
y_M = 16 / 2
y_M = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento A_B é x_M (6, 8).


Exemplo 2

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

x_M = [5 + (–2)] / 2
x_M = (5 – 2) / 2
x_M = 3/2

y_M = [1 + (–9)] / 2
y_M = (1 – 9) / 2
y_M = –8/2
y_M = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ. 

http://www.brasilescola.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm